Во первых о поездках в орду. Для того, что бы понять куда ездили за ярлыком надо понимать способ жизни монголов. Они жили в кочевьях: в юртах и кибитках. Мигрируя по степям ордой, монголы постоянно меняли своё место жительства. Поэтому ехать необходимо было не в конкретное место а в определённом направлении. Подобные поездки могли продолжаться несколько лет и заканчиваться плачевно для путешественников. Во-вторых, существуют древние литературные источники описывающие путешествие в монгольскую столицу Каракорум , возле которого находилась ставка хана. Монах францисканец Джованни Плано Карпини первым совершил такое путешествие среди европейцев ещё в 1246-47 гг. Как раз после навалы Батыя. Путешествие было совершено по инициативе Папі Римского, что бы завязать дипломатические отношения с Великим Ханом, потому как в Европе на тот момент были большие опасения, что монголы на достигнутом не остановятся - это у Карпини написано. Свой опыт посещения империи Карпини изложил в рукописях Historia Mongalorum quos nos Tartaros appellamus («История Монгалов, которых мы называем Татарами») и Liber Tartarorum («Книга о Татарах»), переведённых на многие языки, в том числе и на русский. Журнал "Днипро" в середине 70-ых публиковал эту вещь. Крайне интересное писание надо сказать, в нём описывается подробно весь путь, народы, их быт, и многое другое. Естесственно расказывается и устройстве монгольского государства о средствах сообщения в их государстве, о степени родства приближённых лиц к хану и о внутренней борьбе за власть. Позже об этом городе писали Марко Поло и В. Рубрук.
В русской художественной литературе подобное путешествие в Каракорум описано в книге об Александре, который в скором времени стал Невским. Автора не помню. Читал в школьные годы . Издание 60-ых годов.
То что захватчики разговаривают на языке побеждённых народов - в этом нет ничего странного. Ближайший пример. Великое Княжество Литовское захватило в своё время часть земель которые сейчас принадлежат Белоруссии и Украине, после чего официальным языком в этом государстве стал славянский, т.е. протобелорусско-украинский язык, а не литовский. Это подтверждённый многими документами и историками факт.
Теперь о ярлыках. Утверждать не буду, но! так званые ярлыки - разрешение на княжение и верховенство среди русских князей , эти самые русские князья писали сами, а хан , после того, как князья приедут к нему в ставку по его же приглашению, визировал эти документы. Ставил своё клеймо или палец - не знаю. Нужен такой ярлык был не для монголов, а для того , что бы показывать другим русским, поэтому нет ничего странного, в том что он на русском языке.
То что монголы не имели понятия о Чингис Хане до начала 20 века и что это европейцы им рассказывали о такой исторической личности, по-моему большая фикция, вернее... в общем понятно. Рядом с тёмными монголами находятся учёные китайцы у которых всё записано: количество и года проведения всемонгольских курултаев от 12 века до наших дней, кого там выбирали и все их деяния. К тому же народная традиция в странах с отсутствующей письменностью крайне сильна и каждая монгольская женщина до наших дней при утреннем надое разбрызгивает первую чашку кумыса в память о своём великом предке объединившем всех монгол , владыке мира и прочая и прочая и прочая... Как вы понимаете, это для всех остальных Чингис-хан захватчик и всё такое, а для монголов как раз наоборот. Кстати в Монголии сейчас на деньгах только два персонажа красуется на купюрах всех достоинств: на мелких это революционер Сухэ Батор , а на крупных тот самый Чингис-хан.
Теперь по поводу термина Русь-орда и Московия Тартария. Понятно дело , что часть князей , особенно владевших пограничными териториями находились в вассальной зависимости от Золотой Орды и вынуждены были сами участвовать в походах монголов вглубь и Литвы и Польши и Венгрии и в другие территории. При их отказе в военной поддержке, при отказе обеспечивать провизией и при отказе поддержки в хорошем состоянии дорог для прохода вглубь и так далее, орда грабила тех самых вассалов и их княжества. Это описано достаточно в хрониках. При желании названия приведу. Поэтому ничего удивительного, что в походах орды принимали участие и русичи. С определённого времени они были уже зависымыми вассалами. К тому же когда ордынское войско двигалась, оно тянуло за собой не только кибитки с жёнами и детьми, но и огроимнейшее количество пленников славян, которым тоже надо что то есть... Было иго, было!
Но всё не вечно. Во времена Ивана 4 (Грозного) переплетение между славянами и жившими теперь рядом монголо-татарами было уже на столько сильным, что сам Иван Грозный опирался чаще на татар и полукровок а не на "родное" родовое боярство. Среди таких приближённых можно вспомнить великого князя тверского Симеона Бекбулатовича (Саин-Булат хан).
Поэтому ничего удивительно, как по мне, нет в том, что западные историки писали Московия - Тартария.
Все разговоры на любую историческую тему ,так или иначе заканчиваются одним и тем же -кто прав ? Древние, вроде не "дурачки" были ,и профессора МГУ тоже не "подарок ". Мне думается ,что истина лежит где то по середине (так все говорят когда нет конкретного ответа 
) Первые были зависимы от церкви ,князя ,царя ,государства ,-вторые решили ,ничего личного -факты и только факты ,при полном научном анализе ,исключая априори ! Вот так всегда -говорим одно ,подразумеваем другое ,а делаем...пожалуй последнее десятилетия уже даже ничего не делаем ... 