Брегович учился в музыкальной школе по классу скрипки, но был исключён за «отсутствие таланта». Его музыкальное образование ограничивалось лишь тем, что показывали ему друзья, пока мать не купила ему первую гитару. После этого Брегович поступил в школу искусств. Во время учёбы он играл в школьной группе «Izohipse» ("Изогипсы"). Но его исключили и оттуда за то, что он разбил школьный «Мерседес». Тогда Брегович поступил в гимназию и играл в гимназистской группе «Бештије» («Бестии»), на бас-гитаре. Раскованное поведение лохматого Горана на сцене привлекало на концерты массу студентов.На одном из их выступлений появился Желько Бебек, певец и гитарист из популярной сараевской группы «Kodeksi» Эдо Богелича. Горан напросился к нему на просмотр и так стал членом этой группы.Однако в 1971 году после работы в Италии группа развалилась и, когда Арнауталич пришёл с предложением о новом проекте, Брегович принял его.Сегодня Горан Брегович — один из ведущих артистов балканского фолка и, пожалуй, наиболее известный восточноевропейский кинокомпозитор. 

Брегович стал автором большей части стихов и музыки для Bijelo Dugme, хотя самые известные песни группы были написаны не им — «Ima neka tajna veza», «Glavni junak jedne knjige», «Šta bi dao da si na mom mjestu», «Pristao sam biću sve što hoće» написал Duško Trifunović, «Da sam pekar» и «Selma» — Vlado Dijak, «Loše vino» — Arsen Dedić.Два года группа утрясала состав и выпустила два сингла "Ostajem tebi" и "Kad bi' bio bijelo dugme" на Радио Крушевац, но когда решила записать новые песни на Радио Сараево, им предложили сменить вывеску. Оказалось, что вышедший из группы Исмет Арнауталич, несогласный играть жесткий рок, создал свой поп-ансамбль под тем же названием Jutro. Сразу появилось новое имя - "Белая пуговица" по ставшей популярной песне группы. 

Фактически датой превращения Jutro (в составе группы с середины 1973 года были Goran Bregović — гитара, Željko Bebek — вокал, Jadranko Stanković — бас, Ipe Ivandić — ударные и Vlado Pravdić — клавишные) в Bijelo Dugme считается февраль 1974 года, когда они запустили на Радио Крушевац свои первые записи Top и Ove ću noći naći blues под новым именем. Группа сначала была рекрутирована новым сараевским лейблом Diskoton, но затем приняла более выгодное предложение загребского Jugoton’а.С харизматичным фронтменом Желько Бебеком группа постепенно добивается звёздного статуса в Югославии. По меткому выражению одного журналиста, «они продали больше пластинок, чем есть проигрывателей во всей Югославии». 

Кульминацией карьеры стал диск 1979 года «Bitanga i princeza», оцениваемый как наиболее зрелый альбом «Белой Пуговицы», созданный при участии Бебека. Популярность группы была столь высока, что стали поговаривать даже о «дугмемании» (по аналогии с битломанией).Рубеж десятилетий принёс звуки новой музыки в лице новой волны и ска, что не замедлило сказаться на звучании следующего альбома, «Doživjeti stotu» .

В 1984 году Бебек покидает группу ради сольной карьеры, и Mladen Vojičić по прозвищу Tifa приходит ему на смену, чтобы, отметившись на одноимённом с названием группы альбоме, освободить место для Алена Исламовича (Alen Islamović) из хард-н-хэви-команды Divlje Jagode. С ним группа записывает два последних студийных альбома, отмеченных сильным влиянием фолка.

В 1989 году Исламович попадает в больницу. Жалуется на боли в груди, которые терзали его на протяжении всего последнего турне, о чём он никому не говорил. Группа прекращает своё существование. Об истинных причинах никогда не говорилось, но многие люди сходятся во мнении, что группа прекратила существование постольку, поскольку прекратила существование Югославия. Группа была в каком-то смысле символом единства людей в Югославии…

В 2005 году группа объединилась для трёх концертов в Сараево, Загребе и Белграде. Вместе со всеми тремя ведущими вокалистами, но уже без ударника Горана Ивандича (Goran «Ipe» Ivandić), которого не стало в 1994 году. А 6 октября 2007 года в Белграде, на 51 году жизни, после тяжёлой болезни, скоропостижно скончался один из клавишников Лаза Ристовски.

Сообщалось о подготовке нового альбома, который должен был увидеть свет в конце 2007 или в начале 2008 года, но так как Горан Брегович отказался участвовать в проекте возрождения группы, то Ален Исламович и Тифа вернулись к работе над своими сольными альбомами.

Музыка Bijelo Dugme представляет собой сочетание элементов различных стилей рок-музыки — хард-рок, классический рок, симфо-рок, новая волна — и элементов балканского фолка — смесь, которую журналисты окрестили «pastirski rok» — «пастуший рок».